نسبت طلایی و فیبوناچی

ما در حال مشاهده دنباله فیبوناچی هستیم و اتصالات را به شماره ای به نام PHI (φ یا ( phi )) مشاهده کرده ایم که معمولاً نسبت طلایی نامیده می شوند. من می خواهم قبل از بازگشت به شماره های فیبوناچی و برخی از اثبات القایی مربوط به آنها ، به برخی از اتصالات هندسی و واقعیت های جالب دیگر در مورد این شماره نگاه کنم.

مستطیل طلایی و فیبوناچی

نسبت طلایی ، ( phi ) ، که حداقل به یونان باستان باز می گردد ، همچنین "میانگین طلایی" خوانده می شود (زیرا این یک "میانه" ویژه است) ، "بخش طلایی" (زیرا خاص استروش "برش" یک بخش) ، "نسبت الهی" (زیرا آن را کامل در نظر گرفته می شد) و "نسبت شدید و متوسط" (به عنوان یک توصیف صریح). به طور خاص ، این نسبت بین دو قسمت A و B از یک بخش است به گونه ای که همچنین نسبت بین کل و یکی از قسمت ها نیز هست: $ $ frac = frac $ $

به هر حال ، اصطلاحات "بخش طلایی" و "نسبت طلایی" تا دهه 1800 استفاده نشده بود ، و نماد ( phi ) فقط در حدود سال 1910 معرفی شد.

گفته می شود که یک خط مستقیم به نسبت شدید و متوسط کاهش یافته است ، همانطور که کل خط به بخش بیشتر است ، بنابراین برای کمتر نیز بیشتر است.

در اینجا "مستطیل طلایی" است که طرفین آن در نسبت طلایی قرار دارند:

ما خط افقی را به قسمت های A و B تقسیم کرده ایم تا مستطیل ها با نسبت A: B [Blue] و (A + B): A [کل] مشابه باشد.

ما از سال 1996 با یک سوال ناشناس شروع خواهیم کرد:

رابطه نسبت طلایی و سری فیبوناچی که سعی می کنم بفهمم چرا نسبت طلایی و سری فیبوناچی مرتبط هستند. من فهمیدم که نسبت تعدادی در سری فیبوناچی نسبت به قبلی به طور فزاینده ای به نسبت طلایی نزدیکتر می شود ، اما من نمی دانم چگونه می توانم آن وقوع را با برخی از دلایل یا منطق ریاضی مرتبط کنم. من از هر کمکی قدردانی می کنم

(به هر حال ، استفاده از کلمه "سری" ، که به درستی به یک مبلغ نامحدود اشاره می کند ، به جای "دنباله" ، که اصطلاح مناسب برای لیست صرف شماره است ، معمول است. ما همیشه آن را تصحیح نمی کنیم! توالی فیبوناچی نیز اغلب فقط "اعداد فیبوناچی" نامیده می شود.)

ما قبلاً ، همانطور که این دانش آموز دیده ایم ، نسبت به اعداد فیبوناچی به ( phi ) نزدیک می شود. ما حتی اثبات دیده ایم و بعداً دیگری خواهیم دید. اما آیا روش بزرگتری برای درک آن وجود دارد؟دکتر ایتان پاسخ داد:

شما قسمت چسبنده را انجام داده اید. حالا بیایید به قسمت زیبا نگاه کنیم. شاید متوجه شده باشید که اگر یک مستطیل طلایی دارید و یک مربع را با طول جانبی برابر با سمت مستطیل کوتاه تر قطع می کنید ، آنچه باقی مانده است مستطیل طلایی دیگر است. این می تواند برای همیشه ادامه یابد. شما فقط می توانید این مربع های بزرگ را قطع کرده و مستطیل های طلایی کوچکتر و کوچکتر بگیرید.

در اینجا چندین تکرار از این روند آورده شده است:

مستطیل قرمز شبیه به کل اصلی است.

ایده با سری فیبوناچی این است که همین کار را به صورت معکوس انجام دهید. در اینجا کاری که شما انجام می دهید این است که با یک مربع (1 در 1) شروع کنید ، قسمت طولانی تر پیدا کنید و یک مربع از آن اندازه را به کل چیز اضافه کنید تا یک مستطیل جدید تشکیل شود. بنابراین وقتی با یک مربع 1 در 1 مربع شروع می کنیم ، طولانی ترین طرف یکی است ، بنابراین یک مربع دیگر به آن اضافه می کنیم. اکنون ما یک مستطیل 2 در 1 داریم و سپس طولانی ترین طرف 2 است ، بنابراین ما یک 2 در 2 مربع را به مستطیل 2 در 1 وصل می کنیم تا یک مستطیل 3 در 2 بدست آوریم. این ادامه دارد و طرف های مستطیل همیشه یک شماره فیبوناچی پی در پی خواهند بود. سرانجام مستطیل بسیار نزدیک به مستطیل طلایی خواهد بود.

اگر ما با مستطیل قرمز من در بالا شروع کردیم و مربع ها را به سمت طولانی تر اضافه کردیم ، فقط به ترتیب معکوس ، همان شکل را بدست می آوریم. چه می شود اگر به جای شروع با مستطیل طلایی ، با یک مربع شروع کنیم؟در اینجا شکل حاصل است:

می بینید که طرفین مربع های پی در پی 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، ... که توالی فیبوناچی است. و نسبت مستطیل ها 1: 1 ، 2: 1 ، 3: 2 ، 5: 3 ، 8: 5 ،… است. و همانطور که ادامه می دهیم ، "خطا" در مستطیل که با آن شروع کردیم ، اثر کمتری و کمتری دارد ، به طوری که مستطیل های ما بیشتر و بیشتر شبیه مستطیل طلایی می شوند.

در حالی که ما به مستطیل ها نگاه می کنیم ، فرض کنید قوس های دایره ای را که با قطب نما ترسیم کرده ایم نشان می دهیم تا طول جدید را در هر مرحله پیدا کنیم:

این مارپیچ فیبوناچی شبیه به مارپیچ طلایی است ، اما یکسان نیست.

کمی تاریخ

در اینجا یک سوال دیگر در سال 1996 وجود دارد:

تاریخ مستطیل طلایی آیا می توانید در مورد تاریخ مستطیل طلایی چیزی به من بگویید؟چه زمانی کشف شد و توسط چه کسی؟

دکتر جری پاسخ داد:

کتابهای کامل در مورد مستطیل طلایی یا بخش طلایی وجود دارد. برخی از کتاب ها بر کاربردهای بخش طلایی یا نسبت به معماری متمرکز شده اند. هر کتاب خوبی را در مورد تاریخ ریاضیات امتحان کنید. منبع دیگر نسخه سر توماس ال هیت از عناصر اقلیدس است. او نظرات تاریخی زیادی را در پاورقی ها و بحث های دیگر ارائه می دهد. به عنوان مثال ، در جلد. 1 ، صفحه 137 نسخه شومیز داور ، هیت خاطرنشان می کند که افلاطون به بخش طلایی (که از نزدیک با مستطیل طلایی مرتبط است) اشاره دارد و اقلیدس شامل ساخت و ساز در گزاره 11 کتاب دوم عناصر وی است. هیت همچنین می گوید که این ایده به احتمال زیاد فیثاغورین است ، به این معنی که در حدود شناخته شده بود. 500 سال قبل از میلاد. من شک دارم که آیا شناخته شده است یا تا به حال دقیقاً مشخص خواهد شد که چه کسی بخش طلایی را کشف کرده است.

به خاطر داشته باشید که هنوز به آن نسبت طلایی یا بخش طلایی گفته نشده است! و اسطوره های زیادی در مورد این شماره نیز وجود دارد. استفاده از آن در معماری باستانی احتمالاً کاملاً آن چیزی نبود که بسیاری از مردم فکر می کنند ، و در بسیاری از مناطق در طبیعت که واقعاً وجود ندارد "یافت" است.

همانطور که هیت می گوید ، "همانطور که راه حل این مشکل [زیر را ببینید] برای نوشتن یک پنتاگون معمولی در یک دایره ضروری است ، لزوماً باید نتیجه بگیریم که توسط فیثاغوریان حل شده است ، یا به عبارت دیگر ، آنها کشف کردندراه حل هندسی به معادله درجه دوم A (a-x) = x^2. "

به زودی پنتاگون خواهیم دید.

گزاره 11 کتاب II: برش یک خط مستقیم داده شده به طوری که مستطیل موجود در کل و یکی از بخش ها برابر با مربع در بخش باقیمانده باشد. اگر AB خط داده شده است ، ما می خواهیم آن را در H برش دهیم تا Ab*BH = AH*AH. اگر AB دارای طول 1 و AH = x باشد ، پس از آن ، از نظر مدرن ، x^2+x-1 = 0. ریشه مثبت (-1+Sqrt (5))/2 است که تقریباً 0. 62 استبشراین نسبت طلایی است که مستطیل طلایی بر اساس آن مستقر است.

ساخت و ساز اقلیدس در کتاب II PROP 11 (همانطور که فقط گفته شد) ، و همچنین در کتاب VI Prop 30 (که به عنوان "نسبت شدید و میانگین" توصیف شده است) یافت می شود. در اینجا شکل از اولی است:

مربع صورتی AFGH دارای همان منطقه مستطیل در سمت راست ، Bdkh است. مشاهده کنید که دکتر جری اظهار داشت همان چیزی است که ما نامیده ایم ( phi = frac<phi>)برای کنار گذاشتن در این مورد ، ادامه دهید:

دو فی برای قیمت یکی؟

یک دانش آموز در سال 2001 در مورد این موضوع دو نسبت متفاوت از نزدیک پرسید:

فی در مقابل فی - یک تصادف؟معماری باستانی و مدرن منعکس کننده "نسبت طلایی" (طول 1. 618 به عرض) است و این تعداد به طرز چشمگیری نزدیک به فی (. 618 است.) که در طبیعت برای پراکندگی برگ دیده می شود ، و غیره. آیا این فقط یک تصادف است؟

این دانش آموز بدیهی است که شماره اول را در ارتباط با هندسه و معماری و دوم در ارتباط با طبیعت دیده است. من پاسخ دادم ، همراه با اصطلاحات او:

این چیزی بیش از تصادف است: نسبت طلایی (همانطور که شما آن را تعریف می کنید) دوقلوی فی ، "فی" است ، جایی که phi = (sqrt (5) + 1)/2 = 1. 618. PHI = (SQRT (5) - 1)/2 = 0. 618. phi = 1/phi phi = 1 + phi حقایق دوم با هم تعریف نسبت طلایی را ارائه می دهند: x = 1/x + 1 این معادله (معادل x^2 - x - 1 = 0) توسط PHI و هم رضایت دارد-PHI ، که بنابراین می توان آن را _golden atios_ نامید. از آنجا که آنها متقابل هستند ، یا می توانند به همین نام داده شوند.

من از مورد بزرگ ( ( phi )) استفاده کرده ام و مورد پایین ( ( phi )) راه دیگر را تشکیل می دهد ، که شاید استاندارد تر باشد. اما همانطور که گفتم ، تفاوت زیادی ایجاد نمی کند.

با هم ، اینها در فرمول برای دنباله فیبوناچی استفاده می شوند: f [n] = (phi^n - (-phi)^n) / sqrt (5)

بعد از مدتی گیج کننده می شود ، اینطور نیست؟

مثلث طلایی

در اینجا سوالی از سال 1999 در مورد مثلث طلایی وجود دارد:

مثلث طلایی: چیست؟من در حال انجام یک پروژه برای ریاضی هستم که در آن باید با استفاده از اینترنت به سؤالات پاسخ دهم. من به بسیاری از وب سایت های مختلف رفته ام که سعی می کنند بفهمم مثلث طلایی چیست ، اما نمی توانم آن را پیدا کنم. این مربوط به ریاضی است اما تاکنون تمام نتایج من ارتباطی با دوچرخه دارد. لطفاً به من کمک کنید تا دریابم که مثلث طلایی چیست. متشکرم.

طبقه دکتر پاسخ داد:

سلام ، رابین ، از سوال شما متشکرمفرض کنید ما یک مثلث ABC داریم ، به گونه ای که

چه چیزی این را خاص می کند؟و آیا می توانید اتصال به نسبت طلایی را ببینید؟

بگذارید D نقطه قبل از میلاد باشد ، به گونه ای که AD از زاویه زاویه ای است

این درست است به این دلیل که 72 دو بار 36 است! در حقیقت ، اینگونه است که زاویه های این مثلث انتخاب شده اند: ما می خواستیم زاویه های پایه دو برابر زاویه اوج باشد. اگر دومی x باشد ، سپس (2x+2x+x = 180 ) ، به طوری که (x = frac = 32 ).

حال ، چه می توانیم در مورد طول جانبی بگوییم؟این واقعیت که مثلث های بد و ADC Isosceles هستند به ما امکان می دهد سه بخش را برابر کنند:

و از آنجا که مثلث های بد و BCA همان زوایای پایه را دارند ، آنها مشابه هستند و ما می توانیم نسبت آشنا بنویسیم:

When we let lengths AB = AD = CD = x and BD = 1, then we find: AB : BD = BC : AB x : 1 = (x+1) : x This can be rewritten to: x^2 = x + 1 x^2 -x - 1 = 0 The two solutions for x are x = 1/2 +/- sqrt(5)/2. Since AB>BD ، در این حالت ما باید x = 1/2 + SQRT (5)/2 داشته باشیم. شماره 1/2 + SQRT (5)/2 به عنوان نسبت طلایی یا میانگین طلایی شناخته می شود. بنابراین قبل از میلاد: AB این نسبت مشهور است. به همین دلیل این مثلث مثلث طلایی نامیده می شود.

اما چیزهای بیشتری وجود دارد!

به عنوان نمونه ای از ظاهر مثلث های طلایی: مثلث های بیرونی یک پنتاگرام مثلث های طلایی است.

در اینجا یک پنتاگرام (ستاره پنج نکته ای معمولی) وجود دارد که پنج مثلث طلایی را نشان می دهد:

هنگامی که ما به دو مثلث AC و BC که متناسب با مثلث ACD هستند ، وصل می شویم ، یک پنتاگون معمولی پیدا می کنیم.

این درست است به این دلیل که زاویه ها به درستی اضافه می شوند. و این اتصال به پنتاگون ممکن است دلیل اصلی این نسبت باشد که این نسبت را که ارزش کاوش دارد ، پیدا کرد.

اطلاعات بیشتر در مورد مثلث طلایی

یک دانش آموز در سال 2001 تصور اشتباهی از معنای نام داشت:

مثلث طلایی: مثلث ایزوسلز که من با معلم هندسه خود صحبت کرده ام در مورد اینکه آیا چیزی به عنوان مثلث طلایی وجود دارد ، و او می گوید نه ، اما معلم افتخارات جبر من به من می گوید که وجود دارد ، و این یک مثلث مناسب با نسبت است3: 4: 5 ، و هر یک از چند برابر ، مانند اگر شما 2 ، 6: 8: 10 را ضرب کنید. من می خواهم بدانم که آیا وجود دارد یا خیر. من مثبت هستم که در کتاب درسی من از جبر 1 بود. لطفاً به حل مسئله کمک کنید.

دکتر شووا پاسخ داد:

سلام گریسون ، آنچه من شنیده ام مثلث طلایی بیشتر شبیه مستطیل طلایی است. یک مستطیل طلایی دارای این خاصیت است که اگر یک مربع را از آن قطع کنید ، مستطیل باقیمانده به همان شکل مستطیل اصلی است ، فقط کوچکتر. طرفین آن در نسبت 1 هستند: (1 + Sqrt (5))/2 یا حدود 1: 1. 618033. مثلث طلایی یک مثلث ایزوسل است. این خاصیت دارد که اگر یکی از زاویه های پایه را جدا کنید ، یکی از مثلث هایی که قطع کرده اید شبیه مثلث اصلی است. اگر پایه آن 1 واحد باشد ، دو طرف مساوی هر یک (1 + Sqrt (5))/2 واحد طول ، نسبت به مستطیل طلایی دارند. مثلث های طلایی را می توان در پنجه ها یافت. در یک ABCDE معمولی پنتاگون ، مثلث ACD یک مثلث طلایی است:

نسبت طلایی به عنوان حد

بیایید با این سؤال از سال 1998 به فیبوناچی برگردیم:

نسبت طلایی من می دانم که حد نسبت توالی فیبوناچی میانگین طلایی است ، اما من می خواهم اثبات این موضوع را ببینم.

ما قبلاً به این موضوع توجه کرده ایم ، اما چیزهای بیشتری برای گفتن وجود دارد. دکتر راب به کارن پاسخ داد:

The Fibonacci numbers satisfy the recursion F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(n+1) = F(n) + F(n-1), for all n>1. هر دو طرف را با f (n) تقسیم کنید و تنظیم مجدد: f (n + 1)/f (n) = 1 + 1/[f (n)/f (n-1)].

این البته تعریف توالی فیبوناچی است که از نظر نسبت بیان شده است.

Now suppose the ratio converges to some limit A. Take the limit of both sides as n >بی نهایت: A = 1 + 1/A ، A^2 - A - 1 = 0 ، A = (1 + Sqrt [5])/2 ، نسبت طلایی ، پس از رد ریشه منفی به عنوان معنی دار. این نشان می دهد که اگر نسبت به هر چیزی همگرا شود ، به نسبت طلایی همگرا می شود.

معادله در اینجا معادله ای است که نسبت طلایی (و متقابل منفی آن) را تعریف می کند.

کار بیشتری لازم است تا به درستی ثابت کنیم که دنباله همگرا می شود ، برای برآورده کردن یک ریاضیدان ، اما همگرایی برای اهداف عملی آشکار است.(همگرایی بدان معنی است که اعداد در واقع به هیچ وجه به حد محدود می شوند.)

از طرف دیگر ، می توان با استفاده از آنچه هفته گذشته دیدیم اثبات شود:

برای یک رویکرد دیگر برای نشان دادن این که به نسبت طلایی همگرا می شود ، می توانید از فرمول binet برای f (n) استفاده کنید: f (n) = (a^n - b^n)/(a - b) ، a = (1+ sqrt [5])/2 ، b = (1 - sqrt [5])/2 ، a + b = 1 ، a - b = sqrt [5].

این روش دیگری برای بیان فرمول بینه است ، جایی که (a = phi ) و (b = 1- phi = - frac<phi>).

از | B |<1, as n gets very large, B^n gets very small, and we find that, as n >Infinity ، lim f (n+1)/f (n) = lim (a^[n+1] - b^[n+1])/(a^n - b^n) ، = lim a^[n+1]/a^n ، = lim a ، = A.

که البته ، ( phi ) است.

The Binet Formula can be proved by induction. It also leads to the very interesting F(n) = Round[A^n/Sqrt[5]], for all n>= 0 ، که به ما می گوید که اعداد فیبوناچی تقریباً در پیشرفت هندسی با نسبت مشترک A قرار دارند.

این امر به این دلیل است که مقدار مطلق اصطلاح دوم همیشه کمتر از 1/2 است (برای N مثبت) ، بنابراین گرد شدن به نزدیکترین تعداد کل همیشه به ما می دهد (F_N ). در اینجا مقادیر پی در پی دو اصطلاح ( frac) وجود دارد<phi^n>>) و ( frac<(1-phi)^n>>) ، و مقادیر واقعی:

$ $ f_1 = 0. 72361 +0. 27639 = 1 \ f_2 = 1. 1708 2-0. 17082 = 1 \ f_3 = 1. 89443 +0. 105557 = 2 \ f_4 = 3. 0652 5-0. 06525 +0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 06525 = 3 f_5 = 492-0. 02492 = 8 \ f_7 = 12. 98460 +0. 01540 = 13 \ f_8 = 21. 0095 2-0. 00952 = 21 $ $

اصطلاح اول به طور متناوب دقیقاً زیر و دقیقاً بالاتر از ارزش اصطلاح است ، بنابراین ما فقط می توانیم آن را دور هم دور کنیم و اصطلاح دوم را نادیده بگیریم.

نسبت طلایی به عنوان یک بخش مداوم

یکی دیگر از نمایندگی های شگفت انگیز PHI موضوع این سؤال 1997 است:

Advanced Algebra Meacher Advanced Elgebra Meacher این مشکل را برای اعتبار اضافی به ما داده است. تاکنون هیچ کس در کلاس آن را بدست نیاورد! آیا می توانی کمک کنی؟مشکل به این شکل است: 1 + 1 ------------------- 1 + 1 --------------- 1 + 1 --------- 1 + 1 ----- 1 + 1. بشربشرمعلم من گفت که این ارتباطی با نسبت طلایی دارد. من جواب 1 را دادم زیرا فکر می کردم هرچه مخرج بزرگتر باشد ، کسری کوچکتر و کسر در نهایت = 0 خواهد بود. او گفت که این اشتباه است. امیدوارم بتوانید به من کمک کنید ، نه فقط با جواب بلکه به من کمک کنید تا راه حل را درک کنم!

این شکل یک کسری نامتناهی است که مقدار آن حد مجاز کسری های مداوم است که با توقف پس از تعدادی از اصطلاحات ، به نام همگرایی وجود دارد. در اینجا چند مورد اول وجود دارد:

دکتر پیت پاسخ داد:

برای دیدن این مقدار ، آن را x بنامید. بنابراین x = 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1+.))). 1 را از هر دو طرف تفریق کنید: x-1 = 1/(1+1/(1+1/(1+1/1+.)))."تلنگر" شمارنده و مخرج هر دو طرف (اینورت): 1/(x-1) = 1+1/(1+1/(1+1/1+.)). اما توجه داشته باشید که سمت راست هنوز X است ، زیرا کسری بی نهایت ادامه دارد (با آنچه در خط اول نوشته بودیم مقایسه کنید). بنابراین ، 1/(x-1) = x ، یا x (x-1) = 1. از اینجا ، می توان آن را برای x حل کرد ، و خواهید دید که چرا این اشاره "نسبت طلایی" بود.

این به معادله اکنون آشنا (x^2-x-1 = 0 ) تبدیل می شود ، که محلول های آن ( phi ) و (1- phi ) است. از آنجا که همگرایی ها همه مثبت هستند ، حد آنها (با فرض وجود آن) باید مثبت باشد ، بنابراین ما جواب خود را داریم: جناح مداوم در واقع نسبت طلایی است.

اما چیزهای بیشتری وجود دارد! ما همچنین می توانیم از یک ریشه مربع مداوم استفاده کنیم:

برای یک مشکل مرتبط دیگر ، مقدار 1+SQRT [1+SQRT [1+SQRT [1+SQRT [1+.]]]]؟(SQRT [x] به معنای ریشه مربع x است.) اشاره: از همان روش مانند مشکل قبلی استفاده کنید. اگر جواب صحیح را پیدا کردید ، آماده شوید تا تعجب کنید!

By the same reasoning, if (x=1+sqrt>>>) ، سپس ((x-1)^2 = x ) ، که به (x^2-3x+1 = 0 ) ساده می شود ، به طوری که ( displayStyle x = frac<3pmsqrt<5>>) که هفته گذشته با آن روبرو شدیم. این (1+ phi = phi^2 ) است!

If the expression had been (x=sqrt>>>) ، ما (x^2-1 = x ) خواهیم داشت ، که راه حل مثبت آنها ( phi ) خواهد بود.

حال ، چرا استدلال شما ناقص بوده است؟خوب ، زیرا شما فرض می کنید که مقدار زیر آن کسری بزرگتر و بزرگتر می شود ، در حالی که در واقع اینگونه نیست. از راه حلی که من ارائه داده ام ، ممکن است متوجه شوید که آنچه اتفاق می افتد این است که مواد زیر بخش اول همان ارزشی است که می خواهید به دنبال آن باشید ، و بنابراین بی نهایت نیست! به همین ترتیب ، در مشکل دوم که برای شما مطرح کردم ، مواد زیر ریشه مربع اول همان مقدار است که می خواهید پیدا کنید.

هر چیزی بی نهایت می تواند گمراه کننده باشد!

2 فکر در مورد "نسبت طلایی و فیبوناچی"

1. Pingback: Fibonacci Word مشکلات من: اساسی - پزشکان ریاضی